Question

【題目】如圖所示，四棱錐P﹣ABCD的底面為直角梯形，∠ADC=∠DCB=90°，AD=1，BC=3，PC=CD=2，PC⊥底面ABCD，E為AB的中點．
（I）求證：平面PDE⊥平面PAC；
（Ⅱ）求直線PC與平面PDE所成的角的正弦值．

Answer 1

【答案】解：（I）以點C為坐標原點，以直線CD，CB，CP分別為x，y，z軸建立空間直角坐標系C﹣xyz，
則C（0，0，0），A（2，1，0），B（0，3，0），P（0，0，2），D（2，0，0），E（1，2，0）．
∴ ， ， ，
∴ ， ，
∴DE⊥CA，DE⊥CP，
又CP∩CA=C，AC平面PAC，CP平面PAC，
∴DE⊥平面PAC，∵DE平面PDE，
∴平面PDE⊥平面PAC．
（Ⅱ） ，
設 是平面PDE的一個法向量，則 ，
∴ ，
令x=2，則y=1，z=2，即 ，
∴ =4，| |=3，| |=2，
∴cos＜ ＞= = ．
∴直線PC與平面PDE所成的角的正弦值為 ．

【解析】（I）點C為坐標原點建立空間直角坐標系，求出向量 ， ， 的坐標，根據數量積得出DE⊥AC，DE⊥CP，故而DE⊥平面PAC，于是平面PDE⊥平面PAC；（II）求出平面PDE的法向量 ，計算 與 的夾角，則直線PC與平面PDE所成的角的正弦值等于|cos＜ ＞|．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解平面與平面垂直的判定的相關知識，掌握一個平面過另一個平面的垂線，則這兩個平面垂直，以及對空間角的異面直線所成的角的理解，了解已知為兩異面直線，A，C與B，D分別是上的任意兩點，所成的角為，則．