Question

【題目】如圖，平面，分別是的中點，，.

（1）求二面角的余弦值；

（2）點是線段上的動點，當直線與所成的角最小時，求線段的長.

Answer 1

【答案】（1）；（2）．

【解析】

試題分析：先利用所給的垂直關系建立適當的空間直角坐標系，寫出相關點的坐標（1）判定是平面的一個法向量，求出平面的一個法向量，利用平面的法向量求二面角的余弦值；（2）先利用三點共線設出點的坐標，利用空間向量的夾角公式得到函數關系式，利用二次函數求其最值．

試題解析：以為正交基底建立空間直角坐標系，

則各點的坐標為，，，．

（Ⅰ）因為平面，所以是平面的一個法向量，．因為，．

設平面的法向量為，則，，

即令，解得

所以是平面的一個法向量． 從而

所以二面角的余弦值為

（Ⅱ）因為，設，

又，則，又，

從而

設, 則

當且僅當，即時，的最大值為.

因為在上是減函數，此時直線與所成角取得最小值．

又因為，所以