Question

【題目】（本小題共12分）

已知函數， （為自然對數的底數）.

(Ⅰ)討論的單調性；

(Ⅱ)當時，不等式恒成立，求實數的值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）當時， 在上為減函數；當時，則在上為減函數；在上為增函數；（Ⅱ） .

【解析】試題分析：對函數求導，借助導數研究函數單調性，由于，對參數進行分類討論，根據的符號說明函數的單調性；由于，由 ，可以求出，可知： 在上為減函數； 在上為增函數； 滿足，得出結論.

試題解析：

(Ⅰ) ，令；

①時，則（當且僅當時取等號）在上為減函數；

②當時，則在上為減函數； 在上為增函數；

(Ⅱ) ，

由于不等式恒成立，說明的最小值為，

當 時， 說明；下面驗證：

當時，由(Ⅰ)可知： 在上為減函數； 在上為增函數；

當時， 有最小值，即有.故適合題意.