Question

【題目】已知函數.

（1）求證：存在定點，使得函數圖象上任意一點關于點對稱的點也在函數的圖象上，并求出點的坐標；

（2）定義，其中且，求；

（3）對于（2）中的，求證：對于任意都有.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）；（3）見解析.

【解析】試題分析：（Ⅰ）根據題中已知條件可知函數f（x）上的點P和點Q關于點M對稱，可根據f（x）+f（2a﹣x）=2b可以求出a和b的值，進而可以證明．

（Ⅱ）根據題中已知條件借助倒序相加法求出Sn的表達式，進而將n=2016代入即可求出S2016的值．

試題解析：

（1）顯然函數定義域為，設點的坐標為，

則

對于恒成立，于是解得

所以存在定點，使得函數在圖象上任意一點關于點對稱的點也在函數的圖象上.

（2）由（1）得， （i）

（ii）

（i）+（ii），得， ，故.

（3）當時，由（2）知，

于是等價于 .

令，則，

當時， ，即函數在上單調遞增，又.

于是，當時，恒有，即恒成立.

故當時，有成立，取，

則由成立.