Question

【題目】已知函數.

（1）討論的單調性；

（2）若曲線的一條切線方程為，

（i）求的值；

（ii）若時， 恒成立，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】(1)見解析.(2)（i）1, （ii）.

【解析】

（1）求導后，分和兩種情況，解得與的解集，可得的單調性.

（2）（i）設切點為，由題意利用切線與導函數的關系建立方程組即可確定b的值；

（ii）將原問題轉化為函數在給定區間上單調性的問題，利用導函數研究函數單調性的方法即可確定實數的取值范圍.

由得，

若，則，即在上是增函數；

若，令得，令得，即在

上是單調減函數，在上是單調增函數.

（2）（i）設切點為，得由題意得

，消去與得

，令，，

時，；時，；時，；

在上是減函數，在上是增函數，

，即僅有一個零點，即方程

僅有一個根，

（ii）由（i）知，

即為

由知，上式等價于函數在為增函數

，即，

令，，

時，；時，；時，

在上單調遞減，在上單調遞增，

，則，即，所以實數的范圍為.