Question

【題目】已知拋物線在第一象限內的點到焦點的距離為．

（1）若，過點, 的直線與拋物線相交于另一點，求的值；

（2）若直線與拋物線相交于兩點，與圓相交于兩點， 為坐標原點， ，試問：是否存在實數，使得的長為定值？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）時， ， 的長為定值．

【解析】試題分析：（1）根據拋物線的性質可得到焦點的距離為可得出，求出的方程，聯立拋物線，故而可得， ，即可得最后結果；（2）設出直線的方程為，設 ，與拋物線方程聯立，運用韋達定理得， ，由，得，將， 代入可得的值，利用直線截圓所得弦長公式得，故當時滿足題意.

試題解析：（1）∵點，∴，解得，

故拋物線的方程為： ，當時，，

∴的方程為，聯立可得， ，

又∵， ，∴．

（2）設直線的方程為，代入拋物線方程可得，

設 ，則， ，①

由得： ，

整理得，②

將①代入②解得，∴直線，

∵圓心到直線l的距離，∴，

顯然當時， ， 的長為定值．