Question

【題目】如圖，菱形與正所在平面互相垂直，平面，，.

（1）證明：平面；

（2）若，求直線與平面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】(1)證明過程詳見解析（2）

【解析】

（1）過點作于，由面面垂直的性質可知平面，又平面，可得，即四邊形為平行四邊形，得到線線平行，從而得到線面平行；

（2）分別以，，為軸建立空間直角坐標系，求出平面的法向量，利用線面角的向量公式進行計算即可得到答案.

解：（1）如圖，過點作于，連接EH，∴.

∵平面平面，平面，

平面平面于 ∴ 平面.

又∵平面，.∴，

∴四邊形為平行四邊形. ∴，

∵平面，平面，

∴平面.

（2）連接.由（1）得為中點，又，為等邊三角形，

∴.分別以，，為軸建立

如圖所示的空間直角坐標系.

則，，，.

，， ，

設平面的法向量為.

由，得

令，得.

，

直線與平面所成角的正弦值為.