Question

【題目】拋物線的焦點為，準線為，若為拋物線上第一象限的一動點，過作的垂線交準線于點，交拋物線于兩點.

（Ⅰ）求證：直線與拋物線相切；

（Ⅱ）若點滿足，求此時點的坐標.

Answer 1

【答案】（I）證明見解析；（Ⅱ）.

【解析】

（Ⅰ）設，由此可得直線的斜率，進而得到直線的斜率，由此得到的方程為，令可得點的坐標，于是可得直線的斜率．然后再由導數的幾何意義得到在點A處的切線的斜率，比較后可得結論．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，直線的方程為，將直線方程與橢圓方程聯立消元后得到二次方程，結合根與系數的關系及可求得點A的坐標．

（Ⅰ）由題意得焦點．設，

∴直線的斜率為，

由已知直線斜率存在，且直線的方程為，

令，得，

∴點的坐標為，

∴直線的斜率為．

由得，

∴，即拋物線在點A處的切線的斜率為，

∴直線與拋物線相切．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，直線的方程為，

由 消去整理得，

設，

則．

由題意得直線的斜率為 ，

直線的斜率為，

∵ ，

∴，

∴，

∴ ，

整理得，

解得或．

∵ ，

∴，

又，且，

∴存在，使得．