Question

【題目】在平面直角坐標系中，點到點的距離比它到軸的距離多1，記點的軌跡為；

（1）求軌跡的方程；

（2）求定點到軌跡上任意一點的距離的最小值；

（3）設斜率為的直線過定點，求直線與軌跡恰好有一個公共點，兩個公共點，三個公共點時的相應取值范圍.

Answer 1

【答案】(1) ；(2) ；

(3) 當時,直線與軌跡恰好有一個公共點；

當時, 直線與軌跡恰好有兩個公共點；

當時, 直線與軌跡恰好有三個公共點

【解析】

(1) 設點,再根據題意求解關于的方程化簡即可.

(2)根據(1)中的軌跡方程,分情況討論的最小值即可.

(3)根據(1)中的方程,結合直線過分三種情況進行討論即可.

(1)設點,依題意得,即,

即.化簡整理得 .

故點的軌跡的方程為

(2)在點的軌跡中,記,.

設,當點的軌跡在上時,

,當時取得最小值.

當點的軌跡在上時,

綜上所述：當時,即,.

(3) 在點的軌跡中,記,.

依題意,可設直線的方程為.

由方程組 可得①

當時,此時 ,把代入軌跡的方程,得.

故此時直線：與軌跡恰好有一個公共點.

當時,方程①的判別式為②

設直線與軸的交點為,則

由,令,得③

若,由②③解得,或.

即當時,直線與沒有公共點,與有一個公共點,

故此時直線與軌跡恰好有一個公共點.

若或,由②③解得,或.

即當時,直線與只有一個公共點,與有一個公共點.

當時, 直線與有兩個公共點,與沒有公共點.

故當時,直線與恰好有兩個公共點.

若,由②③解得,或.

即當時,直線與有兩個公共點,與有一個公共點,

故此時直線與軌跡恰好有三個公共點.

綜上所述：當時,直線與軌跡恰好有一個公共點；

當時, 直線與軌跡恰好有兩個公共點；

當時, 直線與軌跡恰好有三個公共點