Question

【題目】已知函數.

（1）若曲線在點處的切線方程為，求的值；

（2）若的導函數存在兩個不相等的零點，求實數的取值范圍；

（3）當時，是否存在整數，使得關于的不等式恒成立？若存在，求出的最大值；若不存在，說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）存在，最大值為.

【解析】

（1）求出函數的導數，由題意得出從而可求出實數的值；

（2）令，可得知函數在上有兩個零點，分和兩種情況討論，利用導數分析函數在區間上的單調性和極值，由題意轉化為函數極值相關的不等式，解出即可得出實數的取值范圍；

（3）將代入函數的解析式得出，對該函數求導得出，構造函數，利用單調性結合零點存在定理找出函數的極小值點，并滿足，結合此關系式計算得出，從而可得出整數的最大值.

（1），

因為曲線在點處的切線方程為，

所以，得；

（2）因為存在兩個不相等的零點.

所以存在兩個不相等的零點，則.

①當時，，所以單調遞增，至多有一個零點

②當時，因為當時，，單調遞增，

當時，，單調遞減，

所以時，.

因為存在兩個零點，所以，解得.

因為，所以.

因為，所以在上存在一個零點.

因為，所以.

因為，設，則，

因為，所以單調遞減，

所以，所以，

所以在上存在一個零點.

綜上可知，實數的取值范圍為；

（3）當時，，，

設，則.所以單調遞增，

且，，所以存在使得，

因為當時，，即，所以單調遞減；

當時，，即，所以單調遞增，

所以時，取得極小值，也是最小值，

此時，

因為，所以，

因為，且為整數，所以，即的最大值為.