【題目】如圖，在四棱錐
中，底面
是圓內(nèi)接四邊形，
，
，
.
（1）求證：平面
平面；
（2）設線段
的中點為
，線段
的中點為
，且
在線段
上運動，求直線
與平面
所成角的正弦值的最大值.
【答案】（1）證明見解析（2）
【解析】
（1）連接
，交
于點
，連接
，通過證明
、
證得
平面
，由此證得
.證得
，從而證得
平面
，進而證得平面
平面.
（2）建立空間直角坐標系，設
，通過直線
的方向向量和平面
平面而的法向量求得直線與平面所成角的正弦值
（1）證明：如圖，連接，交于點，連接，
∵
，
，
，∴
，
易得
，∴
，∴.
又，
，
平面，
∴平面，又
平面，∴.
又底面是圓內(nèi)接四邊形，∴
，
在
中，由
，
，可得
，
，
∴
，
，易得
，∴
，
即.又
平面，
，
∴平面，又
平面
，∴平面平面.
（2）解：點
在線段
上.以為坐標原點，
，
，
所在直線分別為
軸、
軸、
軸，建立空間直角坐標系，則
，
，
，
，
，
，∴
，
，
，
，設平面的法向量為
，則
，即
，令
，則
，
設，可得
，
設直線與平面所成的角為
，則
，
∵
，∴當
時，
取得最大值.
故直線與平面所成角的正弦值的最大值為.
科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】為了解學生自主學習期間完成數(shù)學套卷的情況，一名教師對某班級的所有學生進行了調(diào)查，調(diào)查結(jié)果如下表.
（1）從這班學生中任選一名男生，一名女生，求這兩名學生完成套卷數(shù)之和為4的概率？
（2）若從完成套卷數(shù)不少于4套的學生中任選4人，設選到的男學生人數(shù)為
，求隨機變量的分布列和數(shù)學期望；
（3）試判斷男學生完成套卷數(shù)的方差
與女學生完成套卷數(shù)的方差
的大小（只需寫出結(jié)論）.
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】在直角坐標系
中，已知定點
、
，動點
滿足
，設點的曲線為
，直線
與交于
兩點.
（1）寫出曲線的方程，并指出曲線的軌跡；
（2）當
，求實數(shù)
的取值范圍；
（3）證明：存在直線
，滿足
，并求實數(shù)
的取值范圍.
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】在平面直角坐標系xoy中，以坐標原點O為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系。已知曲線C的極坐標方程為
，過點
的直線l的參數(shù)方程為
（為參數(shù)），直線l與曲線C交于M、N兩點。
（1）寫出直線l的普通方程和曲線C的直角坐標方程：
（2）若
成等比數(shù)列，求a的值。
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】在平面直角坐標系
中，點
到點
的距離比它到
軸的距離多1，記點的軌跡為
；
（1）求軌跡的方程；
（2）求定點
到軌跡上任意一點的距離
的最小值；
（3）設斜率為
的直線
過定點
，求直線與軌跡恰好有一個公共點，兩個公共點，三個公共點時的相應取值范圍.
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】若一個四位數(shù)的各位數(shù)字相加和為10，則稱該數(shù)為“完美四位數(shù)”，如數(shù)字“2017”.試問用數(shù)字0，1，2，3，4，5，6，7組成的無重復數(shù)字且大于2017的“完美四位數(shù)”有（ ）個.
A. 71B. 66C. 59D. 53
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】某農(nóng)戶考察三種不同的果樹苗A、B、C，經(jīng)引種試驗后發(fā)現(xiàn)，引種樹苗A的自然成活率為0.8，引種樹苗B、C的自然成活率均為0.9.
（1）若引種樹苗A、B、C各10棵.
①估計自然成活的總棵數(shù)；
②利用①的估計結(jié)論，從沒有自然成活的樹苗中隨機抽取兩棵，求抽到的兩棵都是樹苗A的概率；
（2）該農(nóng)戶決定引種B種樹苗，引種后沒有自然成活的樹苗中有75%的樹苗可經(jīng)過人工栽培技術處理，處理后成活的概率為0.8，其余的樹苗不能成活.若每棵樹苗引種最終成活后可獲利300元，不成活的每棵虧損50元，該農(nóng)戶為了獲利不低于20萬元，問至少引種B種樹苗多少棵?
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】算籌是在珠算發(fā)明以前我國獨創(chuàng)并且有效的計算工具，為我國古代數(shù)學的發(fā)展做出了很大貢獻.在算籌計數(shù)法中，以“縱式”和“橫式”兩種方式來表示數(shù)字，如圖：
表示多位數(shù)時，個位用縱式，十位用橫式，百位用縱式，千位用橫式，以此類推，遇零則置空，如圖：
如果把5根算籌以適當?shù)姆绞饺糠湃?下面的表格中，那么可以表示的三位數(shù)的個數(shù)為（ ）
A. 
B. 
C. 
D. 
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