Question

【題目】如果存在非零常數(shù)，對于函數(shù)定義域上的任意，都有成立，那么稱函數(shù)為“函數(shù)”．

（Ⅰ）若，，試判斷函數(shù)和是否是“函數(shù)”？若是，請證明：若不是，主說明理由：

（Ⅱ）求證：若是單調(diào)函數(shù)，則它是“函數(shù)”；

（Ⅲ）若函數(shù)是“函數(shù)”，求實數(shù)滿足的條件．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）是“函數(shù)”, 不是“函數(shù)”.理由見解析;（Ⅱ）證明見解析;（Ⅲ）

【解析】

（Ⅰ）根據(jù)定義,代入解析式解不等式,分析是否存在C使得不等式恒成立,即可判斷是否是“函數(shù)”.

（Ⅱ）討論函數(shù)單調(diào)遞增與單調(diào)遞減兩種情況,結(jié)合函數(shù)單調(diào)的性質(zhì)即可證明是 “函數(shù)”；

（Ⅲ）根據(jù)題意可知為單調(diào)函數(shù).代入后變形,可得關(guān)于的一元二次不等式,結(jié)合二次函數(shù)恒成立的解法,即可求得的取值范圍.

（Ⅰ）是“函數(shù)”, 不是“函數(shù)”.理由如下:

若是“函數(shù)”

則滿足

即,所以

解得,

即存在使是“函數(shù)”

若是“函數(shù)”

則滿足

即,化簡得

當(dāng)時,不能恒成立

當(dāng)時,不能恒成立,

綜上可知,不是“函數(shù)”

（Ⅱ）證明:因為是單調(diào)函數(shù),則為單調(diào)遞增函數(shù)或單調(diào)遞減函數(shù).

若是單調(diào)遞增函數(shù),則當(dāng)時,都有成立,函數(shù)為“函數(shù)”

若是單調(diào)遞減函數(shù),則當(dāng)時,都有成立,函數(shù)為“函數(shù)”

綜上可知,當(dāng)為單調(diào)函數(shù)時,則它是“函數(shù)”

（Ⅲ）若函數(shù)是“函數(shù)”,

由，

則

化簡可得恒成立

由二次函數(shù)性質(zhì)可知滿足

解得

所以或

即時,總存在C滿足函數(shù)是“函數(shù)”

所以滿足的條件為