Question

【題目】設函數的定義域為，對于區間，若滿足，則稱區間為函數的區間.

（1）證明：區間是函數的區間；

（2）若區間是函數的區間，求實數的取值范圍；

（3）已知函數在區間上的圖象連續不斷，且在上僅有個零點，證明：區間不是函數的區間.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）（3）證明見解析

【解析】

（1）根據題中定義代入驗證即可證出；

（2）根據題中的新定義可得，由在上單調遞減，可得，只需即可求解.

（3）利用零點存在定理可得函數在上至少存在兩個零點，由題意可得函數在上不存在零點，由，可得，，從而可得，結合定義即可求解.

（1）設，若，則

所以，，

取，滿足定義

所以區間是函數的區間，

（2）因為區間是函數的區間，

所以使得，

因為在上單調遞減，

所以，

所以，，，

故所求實數的取值范圍為，

（3）因為，

所以在上存在零點，

又因為，

所以函數在上至少存在兩個零點.

因為函數在區間上僅有個零點.

所以在上不存在零點.

又因為，所以，，

所以，，

即因此不存在滿足，

所以區間不是函數的區間.