Question

【題目】如圖，已知圓的方程為，圓的方程為，若動圓與圓內切，與圓外切．

（1）求動圓圓心的軌跡的方程；

（2）過直線上的點作圓的兩條切線，設切點分別是，，若直線與軌跡交于，兩點，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

根據已知條件動圓與圓內切，與圓外切，即可得到其軌跡為橢圓，從而求出結果

設的坐標是，切點坐標分別是，，求出切線方程，繼而得到經過兩點的直線的方程是，討論當時和當時的取值范圍

（1）設動圓的半徑為，∵動圓與圓內切，與圓外切，

∴，且.

于是，，所以動圓圓心的軌跡是以為焦點，長軸長為的橢圓.從而，，所以.

故動圓圓心的軌跡的方程為．

（2）設直線上任意一點的坐標是，切點坐標分別是，；則經過點的切線斜率，方程是，經過點的切線方程是，又兩條切線，相交于 .

則有，所以經過兩點的直線的方程是，

①當時，有，，，，則，，

所以；

②當時，聯立，整理得；

設坐標分別為，，則，

所以，故，

所以.令，則，則，

又令，則，，令，

令，解可得，故在上單調遞增，且有，而，所以；

綜合①，②可得，所以的取值范圍為．