Question

【題目】已知過拋物線的焦點，斜率為的直線交拋物線于兩點，且.

(1)求該拋物線的方程；

(2) 為坐標原點，為拋物線上一點，若，求的值．

Answer 1

【答案】（1）y2＝8x.（2）λ＝0，或λ＝2.

【解析】試題分析：第一問求拋物線的焦點弦長問題可直接利用焦半徑公式，先寫出直線的方程，再與拋物線的方程聯立方程組，設而不求，利用根與系數關系得出，然后利用焦半徑公式得出焦點弦長公式，求出弦長，第二問根據聯立方程組解出的A、B兩點坐標，和向量的坐標關系表示出點C的坐標，由于點C在拋物線上滿足拋物線方程，求出參數值.

試題解析：

(1)直線AB的方程是y＝2（x-2），與y2＝8x聯立，消去y得x2－5x＋4＝0，

由根與系數的關系得x1＋x2＝5.由拋物線定義得|AB|＝x1＋x2＋p＝9，

(2)由x2－5x＋4＝0，得x1＝1，x2＝4，從而A(1，－2)，B(4，4)．

設＝(x3，y3)＝(1，－2)＋λ(4，4)＝(4λ＋1，4λ－2)，

又y＝8x3，即[2(2λ－1)]2＝8(4λ＋1)，即(2λ－1)2＝4λ＋1，

解得λ＝0或λ＝2.