Question

【題目】已知函數

（Ⅰ）討論函數在上的單調性；

（Ⅱ）證明：恒成立.

Answer 1

【答案】（1），當時，在上單調遞增；當時，在上單調遞增，在上單調遞減.（2）見解析

【解析】

（1）求出（），通過當時，當時，判斷導函數的符號，推出函數的單調區間即可．

證法二：記函數，通過導數研究函數的性質，，問題得證.

（Ⅰ） （），

當時，恒成立，所以，在上單調遞增；

當時，令，得到，所以，當時，，單調遞增，當時，，單調遞減.

綜上所述，當時，在上單調遞增；當時，在上單調遞增，在上單調遞減.

（Ⅱ）證法一：由（Ⅰ）可知，當時，，

特別地，取，有，即，所以（當且僅當時等號成立），

因此，要證恒成立，只要證明在上恒成立即可，

設（），則，

當時，，單調遞減，當時，，單調遞增.

所以，當時，，即在上恒成立.

因此，有，又因為兩個等號不能同時成立，所以有恒成立.

證法二：記函數，

則，可知在上單調遞增，又由知， 在上有唯一實根，且，則，即（*），

當時， 單調遞減；當時， 單調遞增，

所以，結合（*）式，知，

所以，

則，即，所以有恒成立.