Question

【題目】對于函數，若，則稱為的“不動點”；若，則稱為的“穩定點”．函數的“不動點”和“穩定點”的集合分別記為和，即，．

（）設函數，求集合和．

（）求證：．

（）設函數，且，求證：．

Answer 1

【答案】（），；（）證明見解析；（證明見解析．

【解析】

（）由，解得，；由，解得，，；（）若，則成立；若，設為中任意一個元素，則有，可得，故，從而可得結果；（）①當時，的圖象在軸的上方，可得對于，恒成立，則．②當時，的圖象在軸的下方，可得對于任意，恒成立，則．

（）由，

得，

解得，

由，得，

解得，

∴，．

（）若，

則成立，

若，

設為中任意一個元素，

則有，

∴，

故，

∴．

（）由，得方程無實數解，

∴．

①當時，的圖象在軸的上方，

所以任意，恒成立，

即對于任意，恒成立，

對于，則有成立，

∴對于，恒成立，

則．

②當時，的圖象在軸的下方，

所以任意，恒成立，

即對于，恒成立，

對于實數，則有成立，

所以對于任意，恒成立，

則，

綜上知，對于，

當時，．