Question

【題目】已知函數f（x）=﹣alnx+（a+1）x﹣（a＞0）．

（1）討論函數f（x）的單調性；

（2）若f（x）≥﹣+ax+b恒成立，求a時，實數b的最大值．

Answer 1

【答案】(1)見解析；(2)

【解析】

（1）求出并對其因式分解，對與1的大小分類討論，由的正負情況判斷的單調性。

（2）把f（x）≥﹣+ax+b恒成立轉化成b≤﹣alnx+x恒成立，令g（x）=﹣alnx+x，求出g′（x）=，判斷g（x）的單調性，從而求得g（x）min=﹣alna+a，令h（a）=﹣alna+a，求得h′（a）=﹣lna＞0，即可求得h（a）min，問題得解。

（1）∵f（x）=﹣alnx+（a+1）x﹣（a＞0），定義域為（0，+∞），

∴，x＞0

令f′（x）=0，則x1=a，x2=1

①當0＜a＜1時，令f′（x）＞0，則a＜x＜1；

令f′（x）＜0，則0＜x＜a，或x＞1，

∴f（x）在（0，a），（1，+∞）上單調遞減；在（a，1）上單調遞增；

②當a=1時，f′（x）≤0，且僅在x=1時，f′（x）=0，

∴f（x）在（0，+∞）單調遞減；

③當a＞1時，令f′（x）＞0，則1＜x＜a；

令f′（x）＜0，則0＜x＜1，或x＞a，

∴在（0，1 ），（a，+∞）上單調遞減；在（1，a）上單調遞增．

綜上所述，

當0＜a＜1時，f（x）在（0，a），（1，+∞）上單調遞減；在（a，1）上單調遞增；

當a=1時，f（x）在（0，+∞）上單調遞減；

當a＞1時，f（x）在（0，1），（a，+∞）上單調遞減；在（1，a）上單調遞增．

（2）∵f（x）=﹣alnx+（a+1）x﹣（a＞0）

若恒成立，

∴b≤﹣alnx+x恒成立

令g（x）=﹣alnx+x，x＞0，

即b≤g（x）min，

∵g′（x）=，（a＞0），

∴g（x） 在（0，a）單調遞減，（a，+∞） 單調遞增；

g（x）min=g（a）=﹣alna+a

∴b≤﹣alna+a，a∈[，1]，

令h（a）=﹣alna+a

∴h′（a）=﹣lna＞0，∴h（a）單調遞增，

∴h（a）min=h（）=（1+ln2），

∴

即b的最大值為