Question

【題目】如圖甲所示， 是梯形的高， ， ， ，現將梯形沿折起如圖乙所示的四棱錐，使得，點是線段上一動點.

（1）證明： 和不可能垂直；

（2）當時，求與平面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）詳見解析; （2）.

【解析】試題分析：由于折疊后，經過計算知，這樣兩兩垂直，因此以它們為坐標軸建立空間直角坐標系，寫出各點坐標．

（1）否定性命題，可假設，同時設（），利用向量垂直計算出，如果滿足說明存在，如果不滿足說明不存在；

（2）由得點坐標，從而可求出平面的法向量，則向量與夾角的余弦的絕對值等于直線與平面所成角的正弦值．

解析：如圖甲所示，因為是梯形的高，，所以,因為，，可得，,如圖乙所示，， ，，所以有，所以,而，，所以平面,又，所以、、兩兩垂直．故以為原點，建立空間直角坐標系（如圖），則，，,

（1）設其中，所以 ，，假設和垂直，則，有，解得，這與矛盾，假設不成立，所以和不可能垂直.

（2）因為，所以 ,設平面的一個法向量是，因為，，所以，，即,取,而，所以,所以與平面所成角的正弦值為.