Question

【題目】已知關(guān)于的方程， ，分別求滿足下列條件實(shí)數(shù)的取值范圍：

（1）有解；

（2）有唯一解；

（3）有兩個(gè)解.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）

【解析】

（1）設(shè)，由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，可得的范圍，將方程化為在有解，設(shè)，求出在的值域，即可得到所求的范圍．

（2）利用（1）的結(jié)果，通過函數(shù)的單調(diào)性與函數(shù)圖象，求解方程只有一個(gè)解時(shí)的范圍；

（3）利用函數(shù)的圖象，寫出由兩個(gè)解時(shí)的范圍．

（1）設(shè)，由，，可得，

方程，即為，

即在有解，

由，

當(dāng)時(shí)，取得最小值，

，可得的最大值為60．

可得的最小值為，

的最大值為，

即有的取值范圍是．

（2）由（1）可知在有解，

由，

時(shí)，是減函數(shù)，函數(shù)是增函數(shù)；

，是增函數(shù)，函數(shù)是減函數(shù)．

時(shí)，，時(shí)，，函數(shù)在的圖象如圖：

有唯一解；實(shí)數(shù)的取值范圍：；

（3）有兩個(gè)解，由圖象可得實(shí)數(shù)的取值范圍；