Question

【題目】設拋物線的焦點為，過且斜率為的直線與交于，兩點，．

（1）求的方程；

（2）求過點，且與的準線相切的圓的方程．

Answer 1

【答案】(1) y=x–1,(2)或．

【解析】分析：(1)根據拋物線定義得，再聯立直線方程與拋物線方程，利用韋達定理代入求出斜率，即得直線的方程；（2）先求AB中垂線方程，即得圓心坐標關系，再根據圓心到準線距離等于半徑得等量關系，解方程組可得圓心坐標以及半徑，最后寫出圓的標準方程.

詳解：（1）由題意得F（1，0），l的方程為y=k（x–1）（k>0）．

設A（x1，y1），B（x2，y2）．

由得．

，故．

所以．

由題設知，解得k=–1（舍去），k=1．

因此l的方程為y=x–1．

（2）由（1）得AB的中點坐標為（3，2），所以AB的垂直平分線方程為

，即．

設所求圓的圓心坐標為（x0，y0），則

解得或

因此所求圓的方程為

或．