Question

【題目】已知橢圓 的右焦點 ，且經過點 ，點M是x軸上的一點，過點M的直線l與橢圓C交于A，B兩點（點A在x軸的上方）
（1）求橢圓C的方程；
（2）若|AM|=2|MB|，且直線l與圓 相切于點N，求|MN|的長．

Answer 1

【答案】
（1）解：由題意知： ，

a2=3+b2＞3，解得：a2=4，b2=1，

故橢圓C的方程為 ；

（2）解：設M（m，0），直線l：x=ty+m，A（x1，y1），B（x2，y2），

由|AM|=2|MB|，有y1=﹣2y2，

由 ，得（t2+4）y2+2my+m2﹣4=0，

由韋達定理得： ，

由 ，

得 ，即 ，

化簡得（m2﹣4）（t2+4）=﹣8t2m2，①

原點O到直線的距離 ，

又直線l與圓 相切，

∴ ，即 ，②

聯立①②得：21m4﹣16m2﹣16=0，即（3m2﹣4）（7m2+4）=0，

解得 ，此時 ，滿足△＞0，得 ，

在Rt△OMN中，可得 ，

∴|MN|的長為 ．

【解析】（1）由題意列關于a，b的方程組，求解方程組可得a，b的值，則橢圓方程可求；（2）設出M，A，B的坐標及直線l的方程x=ty+m，與橢圓方程聯立，化為關于y的一元二次方程，由|AM|=2|MB|，有y1=﹣2y2，再結合根與系數的關系可得m與t的關系，由直線與圓相切可得m與t的另一關系式，聯立求得m，t的值，可得M的坐標，則|MN|的長可求．