Question

【題目】解答題
（1）解不等式：|2x﹣1|﹣|x|＜1；
（2）設f（x）=x2﹣x+1，實數a滿足|x﹣a|＜1，求證：|f（x）﹣f（a）|＜2（|a+1|）

Answer 1

【答案】
（1）解：根據題意，對x分3種情況討論：

①當x＜0時，原不等式可化為﹣2x+1＜﹣x+1，解得x＞0，又x＜0，則x不存在，

此時，不等式的解集為．

②當0≤x＜ 時，原不等式可化為﹣2x+1＜x+1，解得x＞0，又0≤x＜ ，

此時其解集為{x|0＜x＜ }．

③當x≥ 時，原不等式化為2x﹣1＜x+1，解得 ≤x＜2，

又由x≥ ，此時其解集為{x| ≤x＜2}，

綜上，原不等式的解集為{x|0＜x＜2}．

（2）證明：∵f（x）=x2﹣x+1，實數a滿足|x﹣a|＜1，

故|f（x）﹣f（a）|=|x2﹣x﹣a2+a|=|x﹣a||x+a﹣1|＜|x+a﹣1|=|x﹣a+2a﹣1|≤|x﹣a|+|2a﹣1|＜1+|2a|+1=2（|a|+1）．

∴|f（x）﹣f（a）|＜2（|a|+1）．

【解析】（1）根據題意，對x分3種情況討論：①當x＜0時，②當0≤x＜ 時，③當x≥ 時；在各種情況下．去掉絕對值，化為整式不等式，解可得三個解集，進而將這三個解集取并集即得所求．（2）根據|f（x）﹣f（a）|=|x2﹣x﹣a2+a|=|x﹣a||x+a﹣1|＜|x+a﹣1|=|x﹣a+2a﹣1|≤|x﹣a|+|2a﹣1|＜1+|2a|+1，證得結果．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用絕對值不等式的解法的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握含絕對值不等式的解法：定義法、平方法、同解變形法，其同解定理有；規律：關鍵是去掉絕對值的符號．