Question

【題目】選修4-5：不等式選講
已知函數(shù)f（x）=|x+2|﹣2|x﹣1|．
（Ⅰ）求不等式f（x）≥﹣2的解集M；
（Ⅱ）對任意x∈[a，+∞]，都有f（x）≤x﹣a成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）解：∵函數(shù)f（x）=|x+2|﹣2|x﹣1|，∴不等式f（x）≥﹣2即 ①，或 ②，或 ③．

解①求得x∈，解②求得﹣ ≤x＜1，解③求得1≤x≤6，

綜上，不等式的解集為M={x|﹣ ≤x≤6}．

（Ⅱ）對任意x∈[a，+∞]，都有f（x）≤x﹣a成立，函數(shù)f（x）= 的圖象如圖所示：

令y=x﹣a，則此直線斜率為1，﹣a表示直線的縱截距，故函數(shù)f（x）的圖象在直線y=x﹣a的下方或在直線上．

當(dāng)直線過（1，3）點(diǎn)時(shí)，﹣a=2，即a=﹣2；

∴當(dāng)﹣a≥2，即a≤﹣2時(shí)，條件成立；

當(dāng)﹣a＜2，即a＞﹣2時(shí)，令﹣x+4=x﹣a，得x=2+ ，

∴a≥2+ ，即a≥4時(shí)，條件成立，

綜上a≤﹣2或a≥4．

【解析】（Ⅰ）通過對x≤﹣2，﹣2＜x＜1與x≥1三類討論，去掉絕對值符號，解相應(yīng)的一次不等式，最后取其并集即可；（Ⅱ）在坐標(biāo)系中，作出f（x）= 的圖象，對任意x∈[a，+∞），都有f（x）≤x﹣a成立，分﹣a≥2與﹣a＜2討論，即可求得實(shí)數(shù)a的取值范圍．
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了絕對值不等式的解法的相關(guān)知識點(diǎn)，需要掌握含絕對值不等式的解法：定義法、平方法、同解變形法，其同解定理有；規(guī)律：關(guān)鍵是去掉絕對值的符號才能正確解答此題．