Question

【題目】已知函數

（Ⅰ）討論極值點的個數；

（Ⅱ）若是的一個極值點，且，證明：

Answer 1

【答案】（Ⅰ）當時,無極值點；當時,有1個極值點；

當或,有2個極值點.

（Ⅱ）見解析

【解析】

(Ⅰ)求導可得,再分與兩種情況進行討論即可.

(Ⅱ)由(Ⅰ)以及可得,再求得關于的解析式,再令,構造函數,再求導分析的單調性與最值證明即可.

解：（Ⅰ）由題得,的定義域為,

ⅰ.若,則,所以當時,單調遞減,

當時,單調遞增.

所以,是唯一的極小值點,無極大值,故此時有且僅有1個極值點.

ⅱ. ,令

①當時,,則當時,單調遞增,

當,單調遞減.

所以,分別是極大值點和極小值點,故此時有兩個極值點.

②當時,是的不變號零點,且

故此時在上單調遞增,無極值點.

③當時,,則時,單調遞增,

當時,單調遞減.

所以,分別是極小值點和極大值點,此時有2個極值點.

綜上,當時,無極值點；當時,有1個極值點；

當或,有2個極值點.

（Ⅱ）證明：若是的一個極值點,

由（Ⅰ）知,或,且,

,

令,則,所以

故

所以,當時,單調遞增；當時,單調遞減,

所以是唯一極大值點也是最大值點,即 .

從而,即.（證畢）