Question

【題目】已知函數在其定義域內有兩個不同的零點．

（1）求的取值范圍；

（2）記兩個零點為，且，已知，若不等式恒成立，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）

（2）

【解析】

（1）根據零點與方程的關系，分離參數后構造函數，并求得，結合導函數的符號判斷的單調性，從而求得最大值；由時的極限，即可確定函數與函數的圖象在上有兩個不同交點時的取值范圍；

（2）根據零點定義，將代入可得，.再結合不等式代入化簡并分離參數；由，，作差也可分離參數，將兩個式子合并化簡，令，再構造函數，再求得，對分類討論，由的單調性與極值，即可確定的取值范圍．

（1）依題意，函數在定義域上有兩個不同的零點，即方程在）上有兩個不同的解，也即在上有兩個不同的解．

令，則．

當時，，所以在上單調逆增，

當時，，所以在上單調遞減，

所以．

又，時，

當時，，且，

若函數與函數的圖象在上有兩個不同的交點，

則．

（2）因為為方程的兩根，

所以，．

不等式，變形可得，

代入可得．

因為，，所以原不等式等價于．

又由，，作差得，所以．

所以原不等式等價于恒成立．

令，則，不等式等價于在上恒成立．

令，則．

①當時，，所以在上單調遞，因此，滿足條件；

②當時，在上單調遞增，在上單調遞減，又，所以在上不能恒小于零．

綜上，．