Question

【題目】正項數列的前項和為，，且，（為常數）.

（1）求證：數列為等比數列；

（2）若，且，對任意，都有，求的值；

（3）若，是否存在正整數，且，使得，，三項成等比數列？

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）；（3）不存在，說明見解析.

【解析】

（1）利用，及作差可證;

（2）對進行討論，結合等比數列求和公式可得；

（3）先假設存在，得出，結合二次函數知識證明，從而得出結論.

（1）因為，所以當時，，

兩式相減可得，即；

因為，，所以，所以數列是以為首項，2為公比的等比數列.

（2）因為，，當時，

當時，

所以.

（3）當時，由（1）可得，假設，，三項成等比數列，

則，，

設，所以，

所以，

記是開口向上的二次函數，對稱軸為

且，

所以

綜上不存在正整數，且，使得，，三項成等比數列.