Question

【題目】設點P是直線上一點，過點P分別作拋物線的兩條切線，其中A、B為切點.

（1）若點A的坐標為，求點P的橫坐標；

（2）當的面積為時，求.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）由導數的幾何意義，可先求直線切線的斜率，由點斜式寫出直線方程，再由點縱坐標為-2代入直線方程即可求解；

（2）設，分別表示出直線的方程為，同理得，由兩直線均過得，可推出直線方程為，聯立拋物線方程解出關于的一元二次方程，結合弦長公式和點到直線距離公式表示出三角形面積公式為，即可求解，進而求解弦長；還可設，將兩點縱坐標結合拋物線代換，表示出直線的方程為，同理直線的方程為，聯立解得，故，設直線的方程為，聯立，推出參數，后續求解步驟同前一種解法

（1）由，所以，

因為，

由導數的幾何意義知，切線的斜率，

所以切線的方程為，即，

又因為點P為直線與直線的公共點，

聯立與，可得P點橫坐標為.

（2）法一：不妨設，

由（1）可知，即直線的方程為，

即，同理可得

因為切線均過點，所以，

所以為方程的兩組解，

所以直線的方程為，即

聯立，可得，顯然，

由韋達定理得，，

所以，

又因為點P到直線的距離，

所以，

解得，所以.

法二：不妨設，由（1）可知直線的方程為，

同理，直線的方程為，

聯立解得，

又點P在直線，所以，

設直線的方程為，聯立，可得，

由韋達定理得，

可得，

所以，

又因為點P到直線的距離為，

所以，

解得，所以.