Question

【題目】已知奇函數f（x），函數g（θ）＝cos2θ+2sinθ，θ∈[m，]．m，b∈R．

（1）求b的值；

（2）判斷函數f（x）在[0，1]上的單調性，并證明；

（3）當x∈[0，1]時，函數g（θ）的最小值恰為f（x）的最大值，求m的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）b＝0；（2）在[0，1]上的單調遞增，證明見解析；（3）

【解析】

（1）根據函數f（x）為奇函數，令f（0）＝0求解.

（2）函數f（x）在[0，1]上的單調遞增，再利用函數的單調性定義證明.

（3）根據（2）知，函數f（x）在[0，1]上的單調遞增，得到．即g（θ）的最小值為，再令t＝sinθ，轉化為二次函數求解.

（1）因為函數f（x）為R上的奇函數，

所以f（0）＝0，解得b＝0．

（2）函數f（x）在[0，1]上的單調遞增．

證明：設

則：f（x2）﹣f（x1），

因為，

所以x2﹣x1＞0，1﹣x1x2＞0，

所以，

即f（x2） f（x1），

所以函數f（x）在[0，1]上的單調遞增．

（3）由（2）得：函數f（x）在[0，1]上的單調遞增，

所以．所以g（θ）的最小值為．

令t＝sinθ，所以y的最小值為，

令

解得

所以，

即，

所以

又因為θ∈[m，]．m，b∈R，

所以．