Question

【題目】已知函數，.

（1）當時，求的最小值；

（2）當時，若存在，使得對任意的，都有恒成立，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）見解析 （2）

【解析】

（1）求出，分三種情況討論的范圍，在定義域內，分別令求得的范圍，可得函數增區間，求得的范圍，可得函數的減區間，根據單調性；（2）存在，使得對任意的都有恒成立，等價于，分別利用導數研究函數的單調性，并求出的最小值，解不等式即可得結果.

（1）因為的定義域為， .

①當時，因為，，所以在上為增函數，；

②當時，在上為減函數，在上為增函數，；

③當時，在上為減函數， .

（2）當時，若存在，使得對任意的都有恒成立，

則.

由（1）知，當時， .

因為，令，則，

令，得；令，得，

所以在上單調遞減，在上單調遞增，，所以在上單調遞增.

所以，則，

解得，又，，

所以，即實數的取值范圍是.