Question

【題目】已知函數

（1）當時，求的單調區間；

（2）當時，的圖象恒在的圖象上方，求a的取值范圍.

Answer 1

【答案】(Ⅰ)詳見解析(Ⅱ)

【解析】

（1）首先求出f（x）導數，分類討論a來判斷函數單調性；（2）利用轉化思想 y＝f'（x）的圖象恒在y＝ax3+x2﹣（a﹣1）x的圖象上方，即xex﹣ax＞ax3+x2﹣（a﹣1）x對x∈（0，+∞）恒成立；即 ex﹣ax2﹣x﹣1＞0對x∈（0，+∞）恒成立，利用函數的單調性和最值即可得到a的范圍.

（1）f'（x）＝xex﹣ax＝x（ex﹣a）

當a≤0時，ex﹣a＞0，∴x∈（﹣∞，0）時，f'（x）＜0，f（x）單調遞減；x∈（0，+∞）時，f'（x）＞0，f（x）單調遞增；

當0＜a≤1時，令f'（x）＝0得x＝0或x＝lna．

（i） 當0＜a＜1時，lna＜0，故：x∈（﹣∞，lna）時，f'（x）＞0，f（x）單調遞增，x∈（lna，0）時，f'（x）＜0，f（x）單調遞減，x∈（0，+∞）時，f'（x）＞0，f（x）單調遞增；

（ii） 當a＝1時，lna＝0，f'（x）＝xex﹣ax＝x（ex﹣1）≥0恒成立，f（x）在（﹣∞，+∞）上單調遞增，無減區間；

綜上，當a≤0時，f（x）的單調增區間是（0，+∞），單調減區間是（﹣∞，0）；

當0＜a＜1時，f（x）的單調增區間是（﹣∞，lna）和（0，+∞），單調減區間是（lna，0）；

當a＝1時，f（x）的單調增區間是（﹣∞，+∞），無減區間．

（2）由（I）知f'（x）＝xex﹣ax

當x∈（0，+∞）時，y＝f'（x）的圖象恒在y＝ax3+x2﹣（a﹣1）x的圖象上方；

即xex﹣ax＞ax3+x2﹣（a﹣1）x對x∈（0，+∞）恒成立；

即 ex﹣ax2﹣x﹣1＞0對x∈（0，+∞）恒成立；

記 g（x）＝ex﹣ax2﹣x﹣1（x＞0），

∴g'（x）＝ex﹣2ax﹣1＝h（x）；∴h'（x）＝ex﹣2a；

（i） 當時，h'（x）＝ex﹣2a＞0恒成立，g'（x）在（0，+∞）上單調遞增，

∴g'（x）＞g'（0）＝0；

∴g（x）在（0，+∞）上單調遞增；

∴g（x）＞g（0）＝0，符合題意；

（ii）當時，令h'（x）＝0得x＝ln（2a）；

∴x∈（0，ln（2a））時，h'（x）＜0，

∴g'（x）在（0，ln（2a））上單調遞減；

∴x∈（0，ln（2a））時，g'（x）＜g'（0）＝0；

∴g（x）在（0，ln（2a））上單調遞減，

∴x∈（0，ln（2a））時，g（x）＜g（0）＝0，不符合題意；

綜上可得a的取值范圍是．