Question

【題目】如圖1，△ABC是等腰直角三角形∠CAB=90°，AC=2a，E，F分別為AC，BC的中點，沿EF將△CEF折起，得到如圖2所示的四棱錐C′﹣ABFE
（1）求證：AB⊥平面AEC′；
（2）當四棱錐C′﹣ABFE體積取最大值時，
①若G為BC′中點，求異面直線GF與AC′所成角；
②在C′﹣ABFE中AE交BF于C，求二面角A﹣CC′﹣B的余弦值．

Answer 1

【答案】
（1）解：證明：因為△ABC 是等腰直角三角形，∠CAB=90°，E，F 分別為AC，BC 的中點，

所以EF⊥AE，EF⊥C'E．

又因為AE∩C'E=E，所以EF⊥平面AEC'．

由于EF∥AB，所以有AB⊥平面AEC'．

（2）解：①取AC'中點D，連接DE，EF，FG，GD，

由于GD 為△ABC'中位線，以及EF 為△ABC 中位線，

所以四邊形DEFG 為平行四邊形．

直線GF 與AC'所成角就是DE 與AC'所成角．

所以四棱錐C'﹣ABFE 體積取最大值時，C'E 垂直于底面ABFE．

此時△AEC'為等腰直角三角形，

ED 為中線，所以直線ED⊥AC'．

又因為ED∥GF，所以直線GF 與AC'所成角為 ．

② 因為四棱錐C'﹣ABFE 體積取最大值，

分別以EA、EF、EC'所在直線為x 軸、y 軸、z 軸，建立空間直角坐標系如圖，

則C'（0，0，a），B（a，2a，0），F（0，a，0），C'B（a，2a，﹣a），C'F（0，a，﹣a）．

設平面C'BF 的一個法向量為 =（x，y，z），

由 得，取y=1，得 =（﹣1，1，1）．

平面C'AE 的一個法向量 =（0，1，0）．

所以cos＜ ＞= = ，

故平面C'AE與平面C'BF的平面角的夾角的余弦值為 ．

【解析】（1）推導出EF⊥AE，EF⊥C'E，從而EF⊥平面AEC'，由此能證明AB⊥平面AEC'．（2）①取AC'中點D，連接DE，EF，FG，GD，推導出四邊形DEFG 為平行四邊形，直線GF 與AC'所成角就是DE 與AC'所成角，由此能求出直線GF 與AC'所成角．②分別以EA、EF、EC'所在直線為x 軸、y 軸、z 軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出平面C'AE與平面C'BF的平面角的夾角的余弦值．