Question

【題目】函數f（x）＝xlnx－a（x－1）2－x，g（x）＝lnx－2a（x－1），其中常數a∈R．
（Ⅰ）討論g（x）的單調性；
（Ⅱ）當a＞0時，若f（x）有兩個零點x1 ， x2（x1＜x2），求證：在區間（1，＋∞）上存在f（x）的極值點x0 ， 使得x0lnx0＋lnx0－2x0＞0．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）解：函數g（x）的定義域為（0，＋∞），導函數為 ．

①當a≤0時，g′（x）＞0恒成立，g（x）在定義域（0，＋∞）上是增函數；

②當a＞0時， ，并且，

在區間（0， ）上，g′（x）＞0，∴g（x）在（0， ）是增函數；

在區間（ ，＋∞）上，g′（x）＜0，∴g（x）在區間（ ，＋∞）上是減函數．

（Ⅱ）證明：當a＞0時，在區間（0，1]上，f（x）＜0是顯然的，即在此區間上f（x）沒有零點；又由于f（x）有兩個零點，則必然f（x）在區間（1，＋∞）上有兩個零點x1，x2（x1＜x2），

f′（x）＝lnx－2a（x－1），由（Ⅰ）知，f′（x）在區間（0， ）上是增函數，在區間（ ，＋∞）上是減函數．

①若 ，則 ，在區間（1，＋∞）上，f′（x）是減函數，f′（x）≤f′（1）＝0，f（x）在（1，＋∞）上單調遞減，不可能有兩個零點，所以必然有 ．

②當 時，在區間（1， ）上，f′（x）是增函數，f′（x）＞f′（1）＝0；

在區間（ ，＋∞）上，f′（x）是減函數．依題意，必存在實數x0，使得在區間（ ，x0）上，f′（x）＞0，f（x）是增函數；在區間（x0，＋∞）上，f′（x）＜0，f（x）是減函數．此時x0＞1，且x0是f（x）的極大值點．

所以f（x0）＞0，且f′（x0）＝0，即 消去a得到x0lnx0＋lnx0－2x0＞0（x0＞1）．

設F（x）＝xlnx＋lnx－2x（x＞1）， ．

∵ ，∴x＞1時，F′（x）單調遞增．又F′（1）＝0，

∴x＞1時，F′（x）＞0．∴x＞1時，F（x）單調遞增．

又F（1）＝－2＜0，F（e2）＝2＞0．∴存在x0＝e2＞1滿足題意．

亦可直接觀察得到，x0＝e2時，e2lne2＋lne2－2e2＝2＞0，滿足題意．

【解析】（Ⅰ）先求得函數g（x）的導函數，對a進行分類討論并分別判斷函數g′（x）值大于零與小于零的區間，從而得到函數g（x）的單調區間;（Ⅱ）先函數f（x）零點存在的區間，再利用零點的存在區間確定a的取值范圍，再結合零點的存在性得到滿足題意的x0，對設出的F（x）求得最大值為0的情況，從而求出x0的具體值.
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解函數單調性的判斷方法的相關知識，掌握單調性的判定法：①設x1,x2是所研究區間內任兩個自變量，且x1＜x2；②判定f(x1)與f(x2)的大��；③作差比較或作商比較，以及對函數的極值與導數的理解，了解求函數的極值的方法是:（1）如果在附近的左側,右側,那么是極大值（2）如果在附近的左側,右側,那么是極小值．