Question

【題目】設橢圓 的離心率 ，橢圓上一點A到橢圓C兩焦點的距離之和為4．
（1）求橢圓C的方程；
（2）直線l與橢圓交于A，B兩點，且AB中點為 ，求直線l方程．

Answer 1

【答案】
（1）解：由點A到橢圓C兩焦點的距離之和為4，

由橢圓的定義可得2a=4，即a=2，

又e= = ，可得c= ，

b= = ，

即有橢圓C的方程為 =1

（2）解：中點M代入橢圓方程，可得 + ＜1，

即M在橢圓內，

設A（x1，y1），B（x2，y2），

可得x12+2y12=4，x22+2y22=4，

兩式相減可得（x1﹣x2）（x1+x2）+2（y1﹣y2）（y1+y2）=0，

由中點坐標公式可得x1+x2=﹣2，y1+y2=1，

可得直線AB的斜率為k= =﹣ =﹣ =1，

即有直線l的方程為y﹣ =x+1，

即為2x﹣2y+3=0．

【解析】（1）由橢圓的定義可得2a=4，即a=2，再由離心率公式和a，b，c的關系，求得b，進而得到橢圓方程；（2）判斷中點M在橢圓內，設A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），代入橢圓方程，運用作差法和中點坐標公式及斜率公式可得直線l的斜率，再由點斜式方程可得直線的方程．