Question

【題目】如圖，正方形ABCD中邊長為1，P、Q分別為BC、CD上的點，△CPQ周長為2．
（1）求PQ的最小值；
（2）試探究求∠PAQ是否為定值，若是給出證明；不是說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：設∠CPQ=θ，則CP=PQcosθ，CQ=PQsinθ

（ ）

∴

∴

（2）解：分別以AB，AD所在直線為x軸、y軸建立平面直角坐標系，

設Q（x，1），P（1，y），設∠DAQ=α，∠PAB=β

∴ ，即xy+（x+y）=1

又tanα=x，tanβ=y

∴ ，

∴

∴

【解析】（1）根據△CPQ周長為2，并且△CPQ是直角三角形，設∠CPQ=θ，根據三角函數的定義，CP=PQcosθ，CQ=PQsinθ，因此可以表示出 ，求該函數的最小值即可；（2）利用解析法求解：分別以AB，AD所在直線為x軸、y軸建立平面直角坐標系，設Q（x，1），P（1，y），利用兩點間距離公式求出PQ，根據△CPQ周長為2，找出x，y的關系，求出∠PAQ的正切值，即可求得結果．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用兩角和與差的正弦公式和兩角和與差的正切公式的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握兩角和與差的正弦公式：；兩角和與差的正切公式：．