Question

【題目】已知圓x2+y2+x﹣6y+m=0和直線x+2y﹣3=0交于P、Q兩點，
（1）求實數m的取值范圍；
（2）求以PQ為直徑且過坐標原點的圓的方程．

Answer 1

【答案】
（1）解：圓x2+y2+x﹣6y+m=0，可化為（x+ ）2+（y﹣3）2=﹣m+ ，

∴ ＜ ，

∴﹣m+ ＞ ，

∴m＜8；

（2）解：設P（x1，y1），Q（x2，y2），

由題意得：OP、OQ所在直線互相垂直，則kOPkOQ=﹣1，∴x1x2+y1y2=0，

又因為x1=3﹣2y1，x2=3﹣2y2，

所以（3﹣2y1）（3﹣2y2）+y1y2=0，即5y1y2﹣6（y1+y2）+9=0①，

將直線l的方程：x=3﹣2y代入圓的方程得：5y2﹣20y+12+m=0，

所以y1+y2=4，y1y2= ，

代入①式得：5× ﹣6×4+9=0，解得m=3，

故實數m的值為3

【解析】（1）利用圓心到直線的距離小于半徑，即可求實數m的取值范圍；（2）設點P（x1 ， y1），Q（x2 ， y2），由題意得OP、OQ所在直線互相垂直，即kOPkOQ=﹣1，亦即x1x2+y1y2=0，根據P、Q在直線l上可變為關于y1、y2的表達式，聯立直線方程、圓的方程，消掉x后得關于y的二次方程，將韋達定理代入上述表達式可得m的方程，解出即可．