Question

【題目】如圖，在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，E是AB的中點，F在CC1上，且CF＝2FC1，點P是側面AA1D1D（包括邊界）上一動點，且PB1∥平面DEF，則tan∠ABP的取值范圍為_____．

Answer 1

【答案】[]．

【解析】

作出平面MNQB1∥平面DEF，推導出P的軌跡是線段QN，P在Q處，tan∠ABP取最小值，P在N處，tan∠ABP取最大值，由此能求出tan∠ABP的取值范圍．

解：如下圖所示,上取一點，使得,

在上取中點,連，與交于，

則，所以，

即為中點，連交于，因為，

所以為中位線，

在正方體中，為中點，

則面面，

面，，同理可證面，

又，平面MNQB1平面DEF，

∵PB1∥平面DEF，∴P的軌跡是線段QN，

設正方體棱長為，

P在Q處，tan∠ABP取最小值tan，

P在N處，tan∠ABP取最大值tan∠ABP．

∴tan∠ABP的取值范圍為[]．

故答案為：[]．