Question

【題目】已知定義在R上的函數f（x）=x3+（k-1）x2+（k+5）x-1．

（1）若k=-5，求f（x）的極值；

（2）若f（x）在區間（0，3）內單調，求實數k的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）f（x）極大值是f（0）=-1，f（x）極小值是f（4）=-33；

（2）

【解析】

（1）代入k的值，求出函數的導數，解關于導函數的不等式，求出函數的單調區間，即可求出函數的極值；

（2）求出函數的導數，通過討論對稱軸的范圍，得到函數的單調區間，從而確定k的范圍即可．

解：（1）k=-5時，f（x）=x3-6x2-1，

f′（x）=3x2-12x，

令f′（x）＞0，解得：x＞4或x＜0，

令f′（x）＜0，解得：0＜x＜4，

故f（x）在（-∞，0）遞增，在（0，4）遞減，在（4，+∞）遞增，

故x=0時，f（x）取極大值，且極大值是f（0）=-1，

x=4時，f（x）取極小值，且極小值是f（4）=-33；

（2）f′（x）=3x2+2（k-1）x+k+5=3-+k+5，

f′（x）的圖象是開口向上的拋物線，對稱軸是直線x=，

①當≤0即k≥1時，f′（0）=k+5＞0且f′（x）在（0，3）遞增，

故f′（x）＞0在（0，3）內恒成立，

故f（x）在（0，3）遞增，即k≥1時滿足題意；

②當≥3即k≤-8時，f′（0）=k+5＜0且f′（x）在（0，3）遞減，

故f′（x）＜0在（0，3）內恒成立，

故f（x）在（0，3）內遞減，即k≤-8滿足題意；

③當0＜＜3即-8＜k＜1時，

（ⅰ）若-8＜k≤-5，則f′（0）=k+5≤0，

只需f′（3）=7k+26≤0即k≤ -，

此時f′（x）≤0在（0，3）內恒成立，

即f（x）在（0，3）遞減，

（ⅱ）若-5＜k＜1，則f′（0）=k+5＞0，

此時只需f′（）=-+k+5≥0，

解得：

即-2≤k＜1時，f′（x）≥0在（0，3）內恒成立，

即-2≤k＜1時，f（x）在（0，3）遞增，

綜上，若f（x）在區間（0，3）內單調，實數k的范圍是（-∞，-5]∪[-2，+∞）．