Question

已知定義在R上的函數(shù)f（x），滿足f（x+4）=f（x）+2f（2），若函數(shù)y=f（x-1）的圖象關(guān)于直線x=1對稱，且f（3）=2，則f（2013）=（　　）

• A、2
• B、3
• C、4
• D、6

Answer 1

考點(diǎn)：抽象函數(shù)及其應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：根據(jù)函數(shù)的對稱性，判斷函數(shù)f（x）的對稱性和奇偶性，從而得到函數(shù)的周期性，即可得到結(jié)論．

解答： 解：若函數(shù)y=f（x-1）的圖象關(guān)于直線x=1對稱，
將函數(shù)f（x-1）向左平移1個單位得到f（x）的圖象，則f（x）關(guān)于直線x=0對稱，
即函數(shù)f（x）是偶函數(shù)，
∵f（x+4）=f（x）+2f（2），
∴令x=-2得，f（-2+4）=f（-2）+2f（2），
即f（2）=f（2）+2f（2），解得f（2）=0，
即f（x+4）=f（x）+2f（2）=f（x），
即函數(shù)f（x）的周期是4，
則f（2013）=f（3×503+1）=f（1）=f（-3）=f（3）=2，
故選：A

點(diǎn)評：本題主要考查函數(shù)值的計(jì)算，根據(jù)條件求出函數(shù)的對稱性，奇偶性以及周期性是解決本題的關(guān)鍵．綜合考查函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用．