【題目】無窮數(shù)列
滿足： 
為正整數(shù)，且對任意正整數(shù)
， 
為前
項
， 
， 
， 
中等于
的項的個數(shù).
（Ⅰ）若
，請寫出數(shù)列
的前7項；
（Ⅱ）求證：對于任意正整數(shù)
，必存在
，使得
；
（Ⅲ）求證:“
”是“存在
，當(dāng)
時，恒有
成立”的充要條件。
【答案】（Ⅰ）2，1，1，2，2，3，1；（Ⅱ）證明見解析；（Ⅲ）證明見解析.
【解析】試題分析：（Ⅰ）根據(jù)題設(shè)條件，直接寫出即可；
（Ⅱ）假設(shè)存在正整數(shù)
，使得對任意的
， 
，利用反證法證明即可；
（Ⅲ）可分充分性和必要性證明即可，當(dāng)
時，得數(shù)列
滿足
， 
，當(dāng)
為偶數(shù)，則
；當(dāng)
為奇數(shù)，則
，即可證得充分性；再作出必要性的證明即可.
試題解析：
（Ⅰ）2，1，1，2，2，3，1
（Ⅱ）假設(shè)存在正整數(shù)
，使得對任意的
， 
. 由題意， 
考慮數(shù)列
的前
項：
， 
， 
，…， 
其中至少有
項的取值相同，不妨設(shè)
此時有： 
，矛盾.
故對于任意的正整數(shù)
，必存在
，使得
.
（Ⅲ）充分性：
當(dāng)
時，數(shù)列
為
， 
， 
， 
， 
， 
， 
，…， 
， 
， 
， 
，…
特別地， 
， 
，故對任意的
（1）若
為偶數(shù)，則
（2）若
為奇數(shù)，則
綜上， 
恒成立，特別地，取
有當(dāng)
時，恒有成立
方法一:假設(shè)存在
（
），使得“存在
，當(dāng)
時，恒有
成立”
則數(shù)列
的前
項為
， 
， 
， 
， 
， 
， 
， 
，…， 
， 
， 
， 
， 
， 
， 
， 
，…， 
， 
， 
， 
， 
， 
，…， 
， 
， 
， 
， 
， 
， 
， 
， 
， 
后面的項順次為
， 
， 
， 
，…， 
， 
， 
， 
， 
，…， 
， 
， 
， 
， 
，…， 
， 
……
對任意的
，總存在
，使得
， 
，這與
矛盾，故若存在
，當(dāng)
時，恒有
成立，必有
方法二：若存在
，當(dāng)
時， 
恒成立，記
.
由第（2）問的結(jié)論可知：存在
，使得
（由s的定義知
）
不妨設(shè)
是數(shù)列
中第一個大于等于
的項，即
均小于等于s.
則
.因為
，所以
，即
且
為正整數(shù)，所以
.
記
，由數(shù)列
的定義可知，在
中恰有t項等于1.
假設(shè)
，則可設(shè)
，其中
，
考慮這t個1的前一項，即
，
因為它們均為不超過s的正整數(shù)，且
，所以
中一定存在兩項相等，
將其記為a，則數(shù)列
中相鄰兩項恰好為（a，1）的情況至少出現(xiàn)2次，但根據(jù)數(shù)列
的定義可知：第二個a的后一項應(yīng)該至少為2，不能為1，所以矛盾！
故假設(shè)
不成立，所以
，即必要性得證！
綜上，“
”是“存在
，當(dāng)
時，恒有
成立”的充要條件.
科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】在平面直角坐標(biāo)系
中，點
，圓
，以動點
為圓心的圓經(jīng)過點
，且圓
與圓
內(nèi)切.
（Ⅰ）求動點
的軌跡
的方程；
（Ⅱ）若直線
過點
，且與曲線
交于
兩點，則在
軸上是否存在一點
，使得
軸平分
？若存在，求出
的值；若不存在，請說明理由.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】如圖，在四棱錐
中，平面
平面
,且
,
.四邊形滿足
,
,
.
為側(cè)棱
的中點，
為側(cè)棱
上的任意一點.
（1）若為的中點，求證: 面
平面
；
（2）是否存在點,使得直線
與平面
垂直? 若存在，寫出證明過程并求出線段
的長；若不存在，請說明理由.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】如圖，在三棱柱
中，底面
是邊長為2的等邊三角形，平面
交
于點
，且
平面
.
（1）求證： 
；
（2）若四邊形
是正方形，且
，求直線
與平面
所成角的正弦值.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】已知曲線
的極坐標(biāo)方程是
，以極點為平面直角坐標(biāo)系的原點，極軸為
軸的正半軸，建立平面直角坐標(biāo)系，直線
的參數(shù)方程是
(
為參數(shù)).
（1）將曲線
的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程；
（2）若直線
與曲線
相交于
兩點，且
，求直線
的傾斜角
的值.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】選修4-5：不等式選講
已知函數(shù)
（Ⅰ）求不等式
的解集；
（Ⅱ）已知函數(shù)
的最小值為
，若實數(shù)
且
，求
的
最小值．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】設(shè)數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且Sn=4an﹣p，其中p是不為零的常數(shù)．
（1）證明：數(shù)列{an}是等比數(shù)列；
（2）當(dāng)p=3時，若數(shù)列{bn}滿足bn+1=bn+an（n∈N*），b1=2，求數(shù)列{bn}的通項公式．
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