Question

【題目】設數列{an}的前n項和為Sn，且Sn=4an﹣p，其中p是不為零的常數．

（1）證明：數列{an}是等比數列；

（2）當p=3時，若數列{bn}滿足bn+1=bn+an（n∈N*），b1=2，求數列{bn}的通項公式．

Answer 1

【答案】（1）見解析；

（2）見解析．

【解析】

試題分析：（1）通過Sn=4an﹣p，利用an=Sn﹣Sn﹣1，求出，利用等比數列的定義證明數列{an}是等比數列；

（2）當p=3時，若數列{bn}滿足bn+1=bn+an（n∈N*），b1=2，推出，利用bn=b1+（b2﹣b′1）+（b3﹣b2）++（bn﹣bn﹣1），求數列{bn}的通項公式．

證明：（1）證：因為Sn=4an﹣p（n∈N*），則Sn﹣1=4an﹣1﹣p（n∈N*，n≥2），

所以當n≥2時，an=Sn﹣Sn﹣1=4an﹣4an﹣1，整理得．

由Sn=4an﹣p，令n=1，得a1=4a1﹣p，解得．

所以an是首項為，公比為的等比數列．

（2）解：因為a1=1，則，

由bn+1=an+bn（n=1，2，），得，

當n≥2時，由累加得bn=b1+（b2﹣b′1）+（b3﹣b2）+…+（bn﹣bn﹣1）=，

當n=1時，上式也成立．