Question

【題目】如圖，在三棱柱中，底面是邊長為2的等邊三角形，平面交于點，且平面.

（1）求證： ；

（2）若四邊形是正方形，且，求直線與平面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】(1)證明見解析；(2) .

【解析】試題分析：（1）連結，設與相交于點，連接，則為中點，根據線面平行的性質定理可得，從而證明為的中點，根據正三角形的性質可證明；（2）根據勾股定理可證明，結合，由線面垂直的判定定理可得平面，設的中點為， 的中點為，以為原點， 所在直線為軸， 所在直線為軸， 所在直線為軸，建立空間直角坐標系，可得直線的方向向量為，再利用向量垂直數量積為零列方程組，求出平面的一個法向量，根據空間向量夾角余弦公式可得結果．

試題解析：（1）證：連結，設與相交于點，連接，

則為中點，

∵平面， 平面平面

∴，

∴為的中點.

又∵為正三角形，

∴.

（2）∵，∴.

又，

∴.

又，∴平面

設的中點為， 的中點為，以為原點，

所在直線為軸， 所在直線為軸， 所在直線為軸，建立空間直角坐標系.

則， ，

∴.

平面的一個法向量，

.

所以直線與平面所成角的正弦值為.