Question

【題目】如圖，DE∥BC，BC=2DE，CA⊥CB，CA⊥CD，CB⊥CD，F、G分別是AC、BC中點．
（1）求證：平面DFG∥平面ABE；
（2）若AC=2BC=2CD=4，求二面角E﹣AB﹣C的正切值．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵F、G分別是AC、BC中點．

∴FG∥AB，

∵FG平面ABE，AB平面ABE，

∴FG∥平面ABE，

∵DE∥BC，BC=2DE，G是BC中點，

∴DE BG，∴四邊形DEBG是平行四邊形，

∴DG∥BE，

∵DG平面ABE，BE平面ABE，

∴DG∥平面ABE，

∵DG∩FG=G，DG，FG平面DFG，

AB∩BE=B，AB，BE平面ABE，

∴平面DFG∥平面ABE

（2）解：∵DE∥BC，BC=2DE，CA⊥CB，CA⊥CD，CB⊥CD，F、G分別是AC、BC中點．

∴以C為原點，CA為x軸，以CB為y軸，以CD為z軸，建立空間直角坐標系，

∵AC=2BC=2CD=4，

∴A（4，0，0），B（0，2，0），C（0，0，2），E（0，1，2），

=（﹣4，1，2）， =（﹣4，2，0）， =（﹣4，0，2），

設平面ABE的法向量 =（x，y，z），

則 ，取x=1，得 =（1，0，2），

平面ABC的法向量 =（0，0，1），

則cos＜ ＞= ．

∴二面角E﹣AB﹣C的余弦值為cosα= ，

則sinα= ，tanα= = ．

∴二面角E﹣AB﹣C的正切值為 ．

【解析】（1）推導出FG∥AB，從而FG∥平面ABE，從而出四邊形DEBG是平行四邊形，從而DG∥BE，進而DG∥平面ABE，由此能證明平面DFG∥平面ABE．（2）以C為原點，CA為x軸，以CB為y軸，以CD為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出二面角E﹣AB﹣C的正切值．