Question

【題目】如圖，已知四棱錐P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是直角梯形， 且∠DAB=90°，∠ABC=45°，CB= ，AB=2，PA=1

（1）求證：AB∥平面PCD；
（2）求證：BC⊥平面PAC；
（3）若M是PC的中點，求三棱錐C﹣MAD的體積．

Answer 1

【答案】
（1）∵底面ABCD是直角梯形，且∠DAB=90°，∠ABC=45°，

∴AB∥CD，

又AB平面PCD，CD平面PCD，

∴AB∥平面PCD

（2）∵∠ABC=45°，CB= ，AB=2，

∴AC2=AB2+BC2﹣2ABBCcos45°= =2．

則AC2+BC2=AB2，∴BC⊥AC．

∵PA⊥平面ABCD，BC平面ABCD，∴PA⊥BC．

又PA∩AC=A，∴BC⊥平面PAC

（3）在直角梯形ABCD中，過C作CE⊥AB于點E，

則四邊形ADCE為矩形，∴AE=DC，AD=EC．

在Rt△CEB中，可得BE=BCcos45°= ，

CE=BCsin45°= ，∴AE=AB﹣BE=2﹣1=1

∴S△ADC= = = ．，

∵M是PC的中點，∴M到平面ADC的距離是P到平面ADC距離的一半，

∴VC﹣MAD=VM﹣ACD= ×S△ACD×（ PA）= × × = ．

【解析】（1）利用線面平行的判定定理證明；（2）利用勾股定理證明BC⊥AC，由PA⊥平面ABCD，可得PA⊥BC．從而可證得BC⊥平面PAC：（3）在直角梯形ABCD中，過C作CE⊥AB于點E，則四邊形ADCE為矩形，AE=DC，AD=EC．求得CE，計算△ACD的面積，根據M到平面ADC的距離是P到平面ADC距離的一半，求得棱錐的高，代入體積公式計算．