Question

在Rt△ABC中，∠CAB=90°，AB=2，AC=，一曲線E過C點，動點P在曲線E上運動，且保持|PA|+|PB|的值不變．
（1）建立適當的坐標系，求曲線E的方程；
（2）直線l：y=x+t與曲線E交于M，N兩點，求四邊形MANB的面積的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（1）以AB為x軸，以AB中點為原點O建立直角坐標系．由|PA|+|PB|=|CA|+|CB|=+=2，知動點軌跡為橢圓，由此能求出其方程．
（2）將y=x+t代入方程+y²=1，得3x²+4tx+2t²-2=0．設M（x₁，y₁）、N（x₂，y₂），再由根的判別式和根與系數的關系進行求解．
解答：解：（1）以AB為x軸，以AB中點為原點O建立直角坐標系．
∵|PA|+|PB|=|CA|+|CB|=+=2，
∴動點軌跡為橢圓，且a=，c=1，從而b=1．
∴方程為+y²=1
（2）將y=x+t代入方程+y²=1，得3x²+4tx+2t²-2=0．
設M（x₁，y₁）、N（x₂，y₂），
∴△=16t²-4•3•（2t²-2）＞0①，
x₁+x₂=-②，
x₁x₂=③，
由①得t²＜3，
∴S_MANB=|AB||y₁-y₂|=|y₁-y₂|=|x₁-x₂|=．
點評：本題考查圓錐曲線和直線的位置關系和應用，解題時要注意公式的靈活運用．