Question

（2013•昌平區一模）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=2，D是BC的中點，那么（

AB

-

AC

）•

AD

=

2

；若E是AB的中點，P是△ABC（包括邊界）內任一點．則

AD

•

EP

的取值范圍是

[-9，9]

．

Answer 1

分析：由條件可得

AD

=

AB + AC

2

，故(

AB

-

AC

)•

AD

=(

AB

-

AC

)• 

AB + AC

2

=

AB 2- AC 2

2

，由此求得(

AB

-

AC

)•

AD

的值．以CA所在的直線為x軸，以CB所在的直線為y軸，建立平面直角坐標系，利用簡單的線性規劃求得t=

AD

•

EP

的取值范圍．

解答：解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=2，D是BC的中點，那么

AD

=

AB + AC

2

，

AB

2=

AC

2+

BC

2=16+4=20．
∴(

AB

-

AC

)•

AD

=(

AB

-

AC

)• 

AB + AC

2

=

AB 2- AC 2

2

=

20-16

2

=2．
以CA所在的直線為x軸，以CB所在的直線為y軸，建立平面直角坐標系，則A的坐標為（4，0），B的坐標為（0，2），
由線段的中點公式可得點D的坐標為（0，1），點E的坐標為（2，1），設點P的坐標為（x，y），
則由題意可得可行域為△ABC及其內部區域，故有

x≥0 y≥0 x 4 + y 2 ≤1

．
令t=

AD

•

EP

=（-4，1）•（x-2，y-1）=7-4x+y，即 y=4x+t-7．
故當直線y=4x+t-7過點A（4，0）時，t取得最小值為7-16+0=-9，
當直線y=4x+t-7過點B（0，2）時，t取得最大值為 7-0+2=9，
故t=

AD

•

EP

的取值范圍是[-9，9]，
故答案為 2，[-9，9]．

點評：本題主要考查兩個向量的數量積運算，線段的中點公式，簡單的線性規劃問題，屬于中檔題．