Question

（幾何證明選講選做題）
如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，E為AB上一點，以BE為直徑作圓O剛好與AC相切于點D，若AB：BC=2：1，  CD=

3

，則圓O的半徑長為

2

．

Answer 1

分析：連接DE，由直徑所對的圓周角為直角可得∠BDE=∠C=90°，又AC切圓O于點D，根據弦切角定理可得∠BED=∠BDC，又由AB：BC=2：1，∴∠A=30°，從而∠ABC=60°，于是∠EBD=∠CBD=

1

2

∠ABC=30°，而CD=

3

，可得BD，進而在Rt△BED中即可得出．

解答：解：連接DE，則∠BDE=∠C=90°，
由AB：BC=2：1，∴∠A=30°，從而∠ABC=60°，
又∵AC切圓O于點D，故∠BED=∠BDC，從而：∠EBD=∠CBD=

1

2

∠ABC=30°，
而CD=

3

，
∴BD=2CD=2

3

⇒BE=

BD

cos30°

=

2 3

3 2

=4．
故圓O的半徑：r=

1

2

BE=2
故答案為2

點評：熟練掌握圓的性質、弦切角定理、含30°角的直角三角形的性質是解題的關鍵．