Question

【題目】已知函數，為自然對數的底數.

（1）求函數的單調區間；

（2）是否存在常數，使恒成立?若存在，求出的取值范圍；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）在區間和內都單調遞增（2）存在，

【解析】

（1）根據函數解析式，先求得導函數，并構造函數，求得，令，求得的最小值，由可判斷，進而判斷函數的單調區間；

（2）代入函數的解析式，將不等式變形并構造函數原不等式等價于當時，；當時，.求得，對分類討論即可求得的取值范圍；

（1）定義域為

函數

所以

（且）.

設函數（），

則.

令，解得

當時所以在區間內單調遞減，

當時，所以在區間內單調遞增.

故在處取得最小值，且，

故當且時，，即.

所以在區間和內都單調遞增.

（2）存在，理由如下：

代入函數的解析式，將不等式變形并構造函數（），

則原不等式等價于當時，；當時，.（※）

求導得，其中.

若當時，因為，則必然存在，使在區間內恒成立.

所以在區間內單調遞增，于是，這與（※）矛盾，故舍去.

若當時，易知在區間單調遞減.

①當時，，所以在區間內單調遞減.

于是，從而在區間內單調遞減.

故對任意，都有，滿足（※）.

②當時，若，則

即在區間內單調遞增.

此時，（）.

若，由，及零點存在性定理知，存在，使，

即，且在區間內恒成立，在區間內恒成立.

即在區間內單調遞增，在區間內單調遞減.

于是當時，（）.

故當時，在區間內單調遞減，所以（），滿足（※）.

綜上所述，存在常數滿足條件，其取值范圍是.