Question

【題目】已知橢圓上任一點到，的距離之和為4.

（1）求橢圓的標準方程；

（2）已知點，設直線不經過點,與交于，兩點，若直線的斜率與直線的斜率之和為，判斷直線是否過定點？若是，求出該定點的坐標；若不是，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）定點，證明見解析

【解析】

(1)根據橢圓的定義可得,,a=2,則b2=a2﹣c2=2,即可求得橢圓方程;

(2)設直線l的方程,代入橢圓方程,根據韋達定理及直線的斜率公式化簡可得m=﹣2k﹣4,再根據直線的點斜式方程,即可判斷直線l恒過定點(2,﹣4).

(1)由橢圓定義知,,,

所以,

所以橢圓的標準方程為;

(2)直線l恒過定點(2,﹣4),理由如下:

若直線斜率不存在,則,不合題意.

故可設直線方程:,

聯立方程組,代入消元并整理得:,

則,.

,將直線方程代入,

整理得:,

即,

韋達定理代入上式化簡得:,

因為不過點,所以,

所以,即,

所以直線方程為,即,

所以直線過定點.