Question

【題目】已知點(diǎn)在橢圓：（）上，且點(diǎn)到左焦點(diǎn)的距離為3.

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，與直線平行的直線交橢圓于不同兩點(diǎn)、，求面積的最大值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）點(diǎn)A在橢圓上則點(diǎn)A的坐標(biāo)滿足橢圓方程，再由利用兩點(diǎn)之間的距離公式列出方程，結(jié)合橢圓中a,b,c之間的關(guān)系即可求出a,b,c，從而求得橢圓方程；（2）設(shè)直線的方程為，與橢圓方程聯(lián)立得關(guān)于y的一元二次方程，利用韋達(dá)定理求出、關(guān)于m的表達(dá)式，由弦長公式求出及點(diǎn)到的距離d，從而求得的面積的關(guān)于m的表達(dá)式，利用基本不等式可求得最大值.

（1）因?yàn)闄E圓經(jīng)過點(diǎn)，所以.

設(shè)（），則由得，解得.

又，于是，解得（舍負(fù)），進(jìn)而.

故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

（2）因?yàn)?/span>，可設(shè)直線的方程為（），

代入并整理得.由得.

設(shè)、，則，.

所以.

又點(diǎn)到的距離，所以的面積.

故（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)）.

所以面積的最大值為.